三年級下學期
由於各出版商版本及新舊課綱之間的差異，因此同年段的教學單元會逐年異動，
因此請自行在網頁中各年級搜尋需要的教學資料，謝謝!
這是國小分數要準備突破到大於1的分數學習前哨站，
所以此階段的概念穩固十分重要呵!
我將用這段8分鐘的影片來分享我的教學想法!
開學了，第一堂的數學課就是「分數」。
如同我之前分享的影片，
在此階段的教學主要要深植兩個重要的分數概念：
一是「分數」本身與「1」的關係；
二是習慣用「單位分數」來理解分數。
下面是本學年度課本的內容，
但這回我要分享的，
是如何脫離對課本的依賴，卻又能達到該有的教學目標。
我讓孩子們在白板上，自行決定用哪種圖形來表示「1」，並在圖形中寫上「1」。
接著畫出下一個圖形來表示1/2。
然後利用小組討論來中展示各自白板的內容，並讓小組將共識貼在教室白板上。
老師提問如下:
(1) 為什麼小組送出來的1/2圖形很不一樣，有三角形、半圓形、長方形，這樣對嗎?
孩子們要能回答出，
是因為每組所分割的「1」是不一樣，
所以畫出來的1/2當然會不一樣。
(2) 若將表示「1」及原圖表示1/2的部分的圖形擦去
(如白板左邊的三個小白板所示)，
這樣可以清楚表示出1/2嗎?
孩子們回答「不行」，這樣就無法知道所分割的「1」有多大，也就不會知道1/2有多大了。但右邊的三塊小白板就可以分辨出來，因為可以看的到「1」的大小。
重新布題，請孩子們自行決定圖形，用斜線標示出圖形中的1/4。
再畫出一個新的圖形，來表示2/4，接著依序畫出3/4和4/4。
完成後，在小組中展示各自白板的內容，並將小組共識貼在教室白板上。
老師提問:
(1) 各組的1/4長得不太一樣，這樣對嗎?
(檢視之前談及的概念是否穩固)
(2) 2/4 有幾個1/4? 3/4有幾個1/4? 4 /4有幾個1/4?
(3) 所以4/4等於1，同意吧?
今日上課所談及的內容，其實在三上都教過，
但為什麼又需要教一遍?
其實道理很簡單，
一來是要複習舊經驗，以作為分數加減學習的基石；
二來是要趁機再檢視迷思概念是否消除乾淨，以免成為後續學習的絆腳石。
後記:隔日上課，我引導孩子們去思考「和1一樣大的分數」有哪些特徵，且倒底有多少個呢?
關於究竟有多少個「和1一樣大的分數」這件事，班上的孩子還真的陷入一陣子的沉思中，
結果第一個孩子說有十兆個，另一個孩子說有無限多個，
之後大家支持有無限多個的答案，
事實上，我是很懷疑，孩子們究竟懂不懂「無限多個」的意義，
因此我就問他們: 「天上的星星是無限多個嗎?」
經過一段時間的Q&A後，
他們終於理解天上的星星是有限多個，
只是我們人類的科技還無法數出這個數目，
且因為天上的星星是會不時消失、分裂或形成，
所以天上星星的數目是在變動中，但依然是有限多個。
可是，和「和1一樣大的分數」卻是無限多個，
因為整數的數字可以無限的變大，
只要分子和分母的整數是一樣的，他們就是和1一樣大的分數。
孩子們一旦理解分數中「部分-整體」及「單位分數」的數學意義之後，
分數的加減就是小菜一碟，
畢竟在三下的分數加減是不會超過「1」的。
所以，今日我要分享的是孩子們的數學表徵。
從一年級開始，他們就習得數學符號「=」，並時常使用，
但他們有真的理解「=」的意義嗎?
布題: 媽媽買了1盒蛋糕，哥哥吃了5/9盒，妹妹吃了4/9盒，兩人共吃了多少盒?
我先請兩個算式表徵正確的孩子，
依序回到題目說明自己的算式意義及想法，
接著我就自行從台下選取小白板，
請孩子們幫忙貼在教室白板上，並編上號碼(如下)。
孩子們要先自行思考這些算式表徵是否能被接受，
然後再在小組中分享自己的想法，但此次不需要達到共識，
只要「用心聆聽、用心想」就行，
以達到「聆聽、反芻、串聯」的學習效果。
當然接下來我就會依序引導他們去深入認識及理解數學表徵的意涵。
我可以從孩子們的數學表徵中，清楚看到幾個問題:
孩子不是很了解「=」的數學意義。
因此班上能大膽因需要而寫出如編號(1)算式的人數少，
大多數的人還是會寫成兩個算式。
孩子們也沒有察覺到「=」兩側的必為相同的單位。
因此從編號(2)、(6)、(7) 都可以清楚看到，
他們的迷思及對算式的不安全感。
對於用算式表徵來「完整」表達數學想法的能力還要加強。
從編號(4)、(5) 中可以清楚看到。
此外，因為分數學習常需要單位的標示，
以本題為例，5/9盒也就是5片蛋糕。
也因此孩子們也常會出現 「5/9 = 5 」這樣的數學表徵，
而無法感受到其中的問題，
都是因為對「=」的數學意義沒有了解透徹所致呵!
來分餅乾的人越來越多，怎麼辦?
這個故事可以適用於三下學習「和1一樣大的分數」學習，
也可以用在四上作為學習真、假、帶分數之前的先備經驗複習，
是個蠻可愛的繪本故事，
希望小朋友會喜歡!
到此學習階段，
孩子們有關加減乘除的兩步驟問題就都學完了，
接下來就是等待四上的併式學習來臨了!
但學完≠學好，
所以，這次我又挖了「坑」，
來檢視孩子們是否能「知其所以然」!
2022.03.14 ~ 兩步驟題意理解的最終檢視
今天已是本單元的最後一節課了，
為了能強化孩子們對題意的理解能力，
且提供再多一些「知其所以然」經驗，
因此布了下面這道之前做過的類似題。
一開始僅讓孩子們寫出第一個算式且不用算出答案，
目的是要檢視孩子們是否能理解題目中的關鍵點。
結果，絕大多數的孩子都寫對了，僅有3個孩子寫出錯誤的算式，
這也給了今日的教學創造了一個完美的起點。
我將這三種算式都寫在白板上，然後讓他們好好思考兩件事:
哪個算式是對，請回到題目說明關鍵文字與算式的關係。
另外2個你認為不對的算式，也請回到題目去思考，究竟哪裡與題意不合。
我們先討論正確解題，也就是172-16，
在小組討論與全班討論輪番上陣之後，
孩子們終於用口語清楚說明「還剩下」就是「多出」的意思，
所以應該要先將多出的部分減掉，才是用掉的部份。
確認題意後，我還要孩子依題意畫出示意圖，才算結束。
接著，我要孩子們思考及小組討論，
若要讓172+16是正確的，要如何改題目中的文字?
待他們正確改題後，我還是要他們再畫出符合題意的示意圖。
至此，最後的172÷4要正確改題，
對他們來說，就更快進入狀況，
很快就改好了!
希望經過了這堂燒腦數學課之後，
孩子們能不再漠視題意與算式的「親密」關係! : )
這個單元很難說到底是簡單還是不簡單?
因為將原來97課綱六上的圖形規律，
移到三下來教，勢必簡化了題目的難度，
所以應該會是簡單的。
但「規律」這個概念較抽象，
從圖形來理解是比較具體的，
可是等到之後學習數字規律以及數形規律的應用，
部分的孩子就可能會出現食不知味的狀況了。
無論如何，關關難過關關過，
還是先奠基對「規律」的認識，
之後再且戰且走囉!
數字規律的學習，
除了繼續探索「規律」在哪裡之外，
也是在為接下來的數形應用的學習進行奠基，
讓孩子們學習該如何「同時」考慮「數」和
「圖形變化」之間的關係呵!
終於到了此單元學習的最後一階段了，
不會用未知數來表徵的三年級孩子，
要如何用數學表徵來表示規律並從其中看到規律呢?
我分享我的作法給大家參考喔!
每回教到這個學習單元時，
都是我痛苦指數最高的時候，
因為課本所呈現的教材內容缺乏能說服我的地方。
因此，我必須花更多的力氣，
去讓孩子們理解課本中的矛盾之處，
並訓練他們以符合邏輯的方式，
去展現對時間加減的想法及算式表徵。
在這個時期若是概念建立得宜，
到了四年級的跨中午或跨日的時間計算，
就會更容易理解了!
所以，只能認命的先苦後樂的努力教吧!
「圓」這個單元對孩子們來說並不困難，
但卻是個容易發展素養導向教學的單元。
如何讓孩子們一邊操作、一邊發現新知識，
最後還可以玩耍一番呢?
我分享我的教學內容，供大家參考!
圓規是畫圓的工具而不是孩子們的玩具，
如何讓他們以良好的態度來對待他們手中的圓規呢?
我分享我的教學內容，供大家參考!
在108課綱實施後，
有部分的教學內容產生了變動。
而這也導致在乘除互逆這個學習單元時，
必須有技巧的將算式填充題與乘除互逆好好地「綁定」，
讓孩子們可以理解乘除互逆可以如何有效地增進解題及計算的策略!
前幾日看到一則網路新聞，
在討論這次111年國中會考非選擇題的考試結果，
這也是第一次依據108課綱來命題的非選擇題，
報導內容令我十分有感!
再加上現在正在教孩子們算式填充題的列式，
決定和大家分享一下，
有關「算式意義」這件事。
「數學算式」就是數學「語言」的一種，
也是表達數學想法的最佳工具。
因此，必須要訓練孩子們「怎麼想就要怎麼列算式」，
這樣數學算式才能產生能與人溝通的意義性。
現在，我就以乘除互逆這個單元來跟大家分享我的想法。
2014.03.12 ~ 二位數除以一位數，商是二位數 (如何理解及支撐解題者的想法)
今天是三下上除法單元的第一節課，
也是其他老師來進行教室觀察的日子。
孩子們的舊經驗是能用除法直式解決二位數除以一位數，商是一位數的問題，
而今天的挑戰則是要能解決二位數除以一位數，商是二位數的問題，
最終能以直式表徵來進行記錄。
今日布題是:
姵妤用84元買了4枝鉛筆，一枝鉛筆要多少元?
因為是本單元的第一節課，
因此採開放解題，也就是不限制孩子表徵的方式，
可以運用任何學過的數學知識進行解題，
當然題目上的數字也故意放大到84，
企圖讓孩子們捨去用乘法解題的策略，而能聚焦在除法。
以下就是今天有出現的策略表徵:
在小組討論的過程中，
很明顯的發現孩子們是知道該怎麼算，
可是要如何用數學表徵來表達自己的想法，
卻令大部分的孩子傷透腦筋，
因此即使彼此的表徵是一樣的，
但想法卻是不一樣的。
而今天要分享的讓大家有機會聆聽到孩子們是如何在小組討論中理解彼此，
以及老師和全班同學可以在全班討論中，如何試著支撐解題者的想法，進而達到共識。
我們以下面這張解題紀錄為例
今天要接續上一節課未完成的部分，
我們已經能用圖像來將84元分成4等分，
確認可以用除法來解題，
可是對於除法的直式表徵，
上節課因為時間不夠，
因此將自己的解題想法用正確的除法直式來進行表徵，
就是這節課的教學重點了!
尚未處理的解題記錄是以下這三種表徵類型:
老師一開始先接續在上節課其中一位孩子的想法，
他是寫出了除法的橫式，
然後用口說的分是讓大家了解
他是將84看成8個十和4個一，
然後8個十分四等份，一等份是2個十，
4個一分四等份，一等份是1個一，
所以一等份是21。
然後就請孩子們上台來看白板上的表徵究竟哪一個直式表徵是符合這樣的說法，
以便來消滅表徵不適合且無法處理大數的表徵。
由於孩子們已經在前兩節課經驗過解決二位數除以一位數，商是二位數的問題，
在今天則要學習解決更進階的題目了!
首先不將題目完整寫出，只在白板上寫著
“老師把92元平分給4個人”
T: 請問接下來我可以問什麼問題?
S1: 可以問”一個人可以分多少元”
T: 大家都同意嗎?
S2: 還要加一句 “剩下多少元”
T: (看來孩子們對於”平分”的意義不夠清楚)大家覺得要加這一句話嗎?
T: 請先在自己心中問自己這個問題，1分鐘後我們要進行小組討論，
不管你同意或不同意都要說明你的理由。
(小組討論時間)
T: 好! 現在請停止小組討論，請大家發表你的想法並說明理由。
S3: 我們認為要加 “剩下多少元”，
因為我們估算92除以4是會有餘數的。
S4: 我們認為不用加”剩下多少元”，
因為我們有算過會被整除。
S5: 我們認為不一定需要加”剩下多少元”，
因為不管有沒有餘數，還是可以作答，只是不需要回答餘數的那個部分。
S6: 我們認為不用加”剩下多少元”，因為平分就是要全部分完，所以不用考慮餘數的問題。
有趣的是，大家都說的頭頭是道，
彼此依然一臉迷惑，各持己見，
這時老師就該出手了!
T: 看來大家對”平分”這個字眼的想法是不同的。
如果老師拿了大蛋糕來，說要平分給班上最熱心服務的10個小朋友吃，
結果剩下了一塊，我就拿給隔壁班的小朋友吃，這樣算平分嗎?
S們: 不算!
T: 那如果我把剩下的那一塊，再切成10等分，
再分給那熱心服務的10個小朋友吃，這樣算不算平分?
S們: 算!
T: 因此題目如果出現”平分”就代表要分到不能再分為止，對吧!
至於這一題到底能不能整除，我們計算了以後就會知道，
如果真的出現餘數，那我們就必須判斷是否能再繼續分下去，
出現時我們再討論。
以上的對話是今天教學內容的一部份，
不過可以發現當我們聆聽孩子們的想法時，就不會掉入以成人觀點來思考的陷阱，
以為”孩子們不是早就該懂了嗎?”
也更容易發現孩子們思考的癥結點，進行更有效的教學了!
2014.03.17 ~ 二位數除以一位數，商是二位數且有餘數(布題2)
今天要進入”二位數除以一位數，商是二位數且有餘數”的題目，
一開始就先在白板上寫著:
老師有98個氣球，每6個綁成一束。
T: 請問大家對題目上的文字敘述有問題嗎?
S們: 沒有!
T: 那接下來可以怎樣布完這個題目?
S1:可以問最多可以綁成幾束?
T: 大家同意嗎?如果都同意的話，我想問一定要寫出”最多”嗎?可不可以省略?
(孩子們似乎無法立即做出判斷，
因此先請孩子們先自己想2分鐘，然後開放讓小組做意見交換與討論)
T: 請問有誰願意發表自己的想法?
S2: 我覺得如果不加上”最多”，那麼答案就很多了。
T: 請再說清楚或舉例來說明。
S2: 如果題目沒有問最多可以綁成幾束的話，也可以回答1束、2束……都對啊!
T: 大家同意S2的說法嗎?
S們: 同意。
T: 那麼現在題目就是
“老師有98個氣球，每6個綁成一束，最多可以綁成幾束?”
請開始解題。
以下是該堂課出現不同的解題紀錄:
由於在個別解題時間進行行間巡視發現
第七組全部一開始都被困在相同的迷思中，
就是忽略這題可能會有餘數的可能性，
認為一定要整除，所以怎樣也估不出商，
因此就先問孩子們在解這個題目時，
有遇到什麼困難嗎?
第七組立刻就有人舉手反應了疑惑，
因此今天的全班討論就選擇先從錯誤迷思開始。
待孩子們理解題意上並沒有限制不能有餘數後，
我們就開始討論直式表徵的寫法及意義，
但在本節課下一個討論的關鍵卻不在直式表徵，反倒是橫式表徵
T: 請大家看看這兩張解題紀錄上的橫式，
你們認為哪一張是對的?還是全對?亦或是都不對?
(由於觀察出孩子們還是無法立即做出判斷，
因此再請孩子們先自己想2分鐘，然後開放讓小組做意見交換與討論)
S3: 我們認為兩個都是對的，因為題目只問最多可以綁成幾束，答案就是16束。
(看來這組是忽略表徵符號的意義，把等於 “=” 看成是寫答案了!)
S4:我們認為不用寫餘數，因為題目沒有問餘數。
(看來這組更有意思，直接忽視數學符號意義，而只以題目為思考基準。)
S5: 可是 98除以6不會等於16啊?
S6: 而且等號兩邊的數就不一樣了啊?
(Bingo! 終於有孩子回想起在之前學”兩步驟併式”時，等號所代表的重要意義了!)
由於這個關鍵想法的出現，因此大家很快就釐清了迷思，
認為應該這樣寫才對!
後記:
在布題時故意不像課本一樣寫成
“老師有98個氣球，每6個綁成一束，
最多可以綁成幾束?還剩下幾個氣球?”
就是為了打開孩子們思考框架，
發展其獨立思考的能力，
並讓孩子們能體驗到「言之有據並言之有理」才是王道!
孩子們已理解被除數、除數、商及餘數的關係，並已能解決整除的驗算問題。
而今日的布題，除了要完成有餘數的驗算之外，也希望孩子們能發展出多元的驗算策略，
以檢視他們對於被除數、除數、商及餘數的關係是否真的理解。
以下是他們發展出的多元驗算策略，表現得真好!
課本上的教學目標:
能用有( )的算式紀錄被除數未知的問題，並解決問題。
原本在課本上的題目是
老師有一些色紙，
平分給6個小朋友，
每個人分到25張，剛好分完。
老師原有多少張色紙?
<用有( )的除法算式記問題>
但經分析教材後，
發現這樣的布題並無法讓孩子們產生用有( )的除法算式記問題的需求，
因此將題目改成
老師原有( )張色紙，
平分給6個小朋友，
每個人分到25張，剛好分完。
老師原有多少張色紙?
<列出算式填充題>
這樣的布題不僅符合舊經驗，
而且容易理解，
幾乎全班都寫出 ( ) ÷ 6 = 25 的算式填充題，
只有2個孩子寫出 25 × 6 = ( )
但對我們而言，
這兩種算式填充題都是符合題意的，
最後我們在課堂上討論出的共識是
這兩個算式填充題分別是依題目的句子以不同的順序在列式，
( ) ÷ 6 = 25 的讀題順序是
(1) 老師原有( )張色紙，
(2) 平分給6個小朋友，
(3) 每個人分到25張，剛好分完。
老師原有多少張色紙?
25 × 6 = ( )的讀題順序是
(3) 老師原有( )張色紙，
(2) 平分給6個小朋友，
(1) 每個人分到25張，剛好分完。
老師原有多少張色紙?
接下來就試著恢復成一般的布題方式，
老師把一罐珠子分給小朋友，
每人分8顆，
分給15個人，剛好分完。
這罐珠子原有多少顆?
<列出算式填充題>
孩子們的解題紀錄如下:(以下的排列順序也是全班討論時的順序)
解題紀錄1:
依照題目句子順序來理解題意並列算式填充題，
並用 8(顆) × 15 來算出一罐珠子的數量。
<解題時應用的數學知識: 乘法及乘法交換律>
解題紀錄2:
依照題目句子順序來理解題意並列算式填充題，
並但利用乘除互逆的概念 15 × 8 來算出( )中的數字。
<解題時應用的數學知識:乘除互逆 >
解題紀錄3:
不依照題目句子順序來理解題意列出算式填充題，
而是將題意理解成” 一罐珠子平分給15人，每人得8顆”，
最後求出答案。
<解題時應用的數學知識: 乘法及乘法交換律>
解題紀錄4:
不依照題目句子順序來理解題意列出算式填充題，
將題意理解成”，1人得8顆 ，分給15人，一罐珠子有多少顆”，
然後因為三年級的孩子還不會一位數乘以二位數的乘法( 8 × 15 )，
因此列式後用乘法交換律得到 15 × 8，
最後求出答案。<解題時應用的數學知識: 乘法及乘法交換律>
從今天的上課安排及解題紀錄中，
我們可以發現孩子們不僅理解算式填充題的應用方式，
並展現了多元的解題策略，及懂得如何應用數學知識來合理求出答案，
可喜可賀啊!
在康軒三下的課本上
是先用具體的情境布題讓孩子們經驗乘除互逆，
然後再觀察算式後，經驗乘除互逆的關係，
接著透過矩陣情境，認識乘除互逆，
觀察算式再次經驗乘除互逆的關係。
但是這樣的布題經過大家的討論之後，
發現缺乏引起學習動機的需求性，
對乘除互逆不易產生深刻的印象，進而內化理解。
因此我們改變了布題，
嘗試用另一種方式來引導我們的孩子去經驗、察覺到乘除互逆的概念，
最終理解能應用在解題上。
今日上課是先展示圖片(右圖)，
和孩子們確認直為行、橫為列、
所以圖形中共有6行4列，總共是24個小兵。
然後才布題(如左)，並在孩子們進行記錄前，
確認是否理解題目中的要求，以便能順利完成解題紀錄。
全班有28人，經課後的統計發現
4種算式都記錄出來的孩子有14人，
3種的有5人，
2種的有5人，
1種的有4人。
因此接下來是要孩子們進行小組討論，
討論時要明確說明自己算式中每一個數字在圖形中所代表的意義，
大家確認無誤後才由下一個人來說明，
最後則請將大家所記錄出的算式進行綜合整理寫在小白板上，
然後將共識貼在大白板上。
在大白板上的紀錄共有七組，
五組為4個算式，
各有一組份別為3個(2個除式和1個乘式)和2個算式(2個乘式)。
接下來當然是要孩子們把小組討論時對算式的說明原汁原味的搬上台來，
便先以第五組的紀錄內容作為我們的討論依據，
然後同步來檢其他各組的紀錄使否正確。
首先先請一個孩子來說明算式中每個數字的意義，
然後開始練習為算式擬題，
以讓孩子們能理解這些算式都能與原圖形契合，
(因為內容冗長，所以直接將討論結果重點紀錄如下)
完成所有4種算式及6種布題內容後，
最後再一起檢視這4種算式，察覺到乘法與除法的關係，
老師才定義數學名詞”乘除互逆”給孩子們認識。
完成這次乘除互逆的教學共花了2堂課的時間，
當在下課前布出裸題時(右圖)，
還被孩子們笑說這太簡單，
因為乘除互逆的關係，
根本不用算，答案已經在第一個算式裡了!
好吧!因為他們懂了乘除互逆，
所以這次被嘲笑就認了吧!
乘除互逆的數學關係對於日後的解題具有關鍵性的角色，
但要如何讓孩子們理解這樣的數學關係是必然存在的呢?
課本內容(康軒版)如下:
我則是要孩子門出一題數學應用題，但解題的方法必須是用乘法或除法來解題。
圖片展示出來後，先跟孩子們確認單位量是7顆和3盤，然後就讓他們放手去做了。
然後請孩子們自願分享自己的題目，然後再問有沒有其他的想法，直到找出所有不一樣的題目為止，
我們一共找到4種應用問題的布題(如下)。
很明顯的，孩子們很快就察覺左邊的兩個應用問題並不符合圖片上的意義，只有右邊的兩個應用問題是符合圖片意義的。
但此時問題來了，沒有一個孩子發展出21 ÷7=3 的應用問題，難道不用教嗎?
當然不是，教是一定要教的。
我開始故作神秘說:「老師有發現一個你們都沒有發現的應用問題寫法，要不要讓我來告訴你們啊?」
話才一說完，不少孩子開始試圖堵住我的話，叫我千萬別說，讓他們再想一想，
果真，過了一陣子後，
出現了新的想法，也完美了我今天的布題。
今日也出的一份數學日記當回家功課，來強化今日產出的數學想法，為下一節介紹乘除互逆的概念作奠基。
2013.04.10 ~ 分數的減法(分數的數學表徵)
分數的概念一直是孩子們容易混淆的數學概念，
可能是在孩子們的日常生活上使用較少，
但擁有好的分數概念，卻是日後進行四則混合運算及比例概念學習的重要基石，
因此今天是分數學習的倒數第二節課，
為了測試孩子們對分數的概念及分數表徵的書寫是否夠正確，
因此布了下面這道題。
布題:
一蘋果汁可以平分成5杯，
小莉和3個同學各喝了1杯，
還剩下多少瓶果汁?
數學表徵的書寫基本上必須符合
“解題者的寫法必須與解題想法一致，並符合數學意義。”
以下為今日表徵類型及統計，就讓我們來看看(全班28人):
除了檢視孩子們的數學表徵，
在口語說明想法時，
能”將想法說清楚”更是是否確實理解概念的最好證明。
以本題為例，說明時是否能將數字所代表的意義(如單位)清楚表明，
並回到題目有順序將想法說出，
便是我們檢視的基準。
而審視孩子們的數學表徵，便可以清楚發現沒有人採用如右的表徵，
因為課本中只出現真分數加減的題目，
因此最後由老師提出這樣的做法，
扮演孩子的角色來進行解題說明，
最後達成全班共識。
度過了一個長達四星期的漫長寒假，見到小朋友時連老師們都感到很興奮呢！
而我們也特別為了讓孩子能更快進入數學學習的狀況，
因此特別將需要操作比較多的學習單元-容量，安排在一開學時先進行學習。
第一堂課老師就先亮出了一籮筐各式各樣的容器，並展示了兩個無法做直接比較的容器，
緊接著布下了開春的第一到數學題...
請問你要如何分辨出哪一個容器的容量比較大呢?
這時只看到每隻小手躍躍欲試的
提水的提水，準備抹布以防萬一的，拿起各式容器反覆操作的，好不熱鬧!
當然負責記錄的同學也盡責的將大家發現的測量方法，圖文並茂的記錄下來...
原本還以為一開學「玩水」，這下子學習的心恐怕是一時收不回來了，
但看到一雙雙認真的眼睛之後，
認真的孩子是老師們收到的最棒開學禮物了。
最後總算皇天不負苦心人，經過全班討論之後，大家的共識也出爐了...
解題策略1:
將容器A裝滿水，再注入容器B，看看水是溢出還是不溢出。
解題策略2:
從教具箱中選擇一個容器C做為基準量，
將容器C裝滿水後，分別倒入容器A和容器B來進行比較。
解題策略3:
利用容量相同且容量小於容器A和容器B的多個透明容器來進行間接比較。
解題策略4:
從教具箱中選擇一個容器C做為基準量，
將容器A和容器B分別裝滿水後，倒入容器C來進行比較。
為了更穩固學生對「間接比較」容量的概念，因此下一節課共布了兩題來「困惑」學生，
而他們也不負使命，在小組討論及全班討論的催化下，順利完成任務囉!
布題1
老師出了一個數學題給大家解題:
一瓶可樂可以倒滿5個塑膠杯，
一瓶柳橙汁可以倒滿6個玻璃杯，
請問誰的容量比較大？
請問你對這個數學題目的想法是什麼呢?你知道答案嗎?請說明原因。
布題2
一瓶汽水可以倒滿9個塑膠杯，也可以倒滿6個馬克杯。
請問你知道塑膠杯和馬克杯，哪一個的容量比較大嗎?
了解1公斤有100毫公升，並不是件難事，直接宣告即可，因為這是數學上的制定，
但如何建立出毫公升的量感呢?
我除了引導孩子們發現生活中何時需要用毫公升來計量，像是感冒喝的藥水量，做蛋糕時食譜上對液體食材的計量等，
還要幫孩子們找到一個使用毫公升的生活量尺，
那就是一瓶養樂多罐子的容量，就是100毫公升。
這樣若是我們要談600毫公升，孩子們就很快可以想像那是6瓶養樂多的量。
那要如何讓他們感受到1毫公升的量有多微小呢?
我就讓孩子們拿手邊的水壺，試著在10毫公升的量杯中，倒出1毫公升的水,
果真失敗連連，卻也加深了他們對1毫公升的量感呢!
2010.04.07 ~ 重量 (如何決定全班討論的流程)
全班討論的主要目的是要將小組討論所產生的共識，
藉由全班討論的過程中再次進行檢視。
一來可以澄清學生的迷思；
二來可以學習理解他人的推理過程；
三來可以藉由彼此”觀摩”提升個人的推理能力與解題技巧。
不過，分類後老師的難題才真正開始展現
到底該由哪一種解題紀錄開始討論，依序又該是如何呢？
其實這個問題是很難回答的，
因為每個老師的教學風格及思考邏輯是相異的，
所以不盡然有標準的答案。
但老師安排的討論順序則完全會影響到全班的討論是否能聚焦，
以及是否能讓學生順利理解概念、達到教學目標，
因此將以下題為例和大家分享。
右邊是當天上課所呈現出的四類解題紀錄: 單元: 重量
布題:(康軒三下)
解題紀錄 1
(老師推斷該生是想要將所有可能的組合都算出，
然後再一一和242相加找出最接近題目要求的組合，
缺乏利用 320-242=78 的策略去有效找出答案。)
解題紀錄 2
(老師推斷該生是符合有效的解題策略的要求)
解題紀錄 4
(老師推斷該生是符合有效的解題策略的要求，
但不知該生為何能快速判斷出42+35 就是正解。)
所以在當天的教學老師決定的討論順序為解題紀錄3-2-1-4
先和學生討論可能的錯誤解題，確認無誤後先將其(解題紀錄3)剔除。
然後請學生進行解題紀錄2的說明，並和全班進行Q&A。
再請學生針對解題紀錄1進行說明，並在全班討論中達到共識，
大家同意解題紀錄1和解題紀錄2都是合理的解題策略，
不過解題紀錄2是比較有效的作法。
有了以上的討論經驗，學生對解題紀錄4就充滿的好奇心，
很快的就有人提問為什麼能立刻判斷出答案呢？
經過了該生的詳細回答，
大家才恍然大悟原來該生所使用的解題策略與解題紀錄2非常相似，
只不過他是先算出320-242=78，
然後再利用心算(二位數加二位數對這群學生而言太簡單了)算出最接近78的答案，
所以解題紀錄才會如此「簡潔」 ！
如果你就是在這個教學現場的老師，你又會如何安排討論的順序呢？
介紹完一平方公分的定義之後，我讓孩子們在課本上找個空位畫畫看一平方公分，
大家都做得很好!
接下來，請他們畫出2平方公分，
果真，絕大多數的人都陷入迷思概念，以為是邊長2公分的正方形，
當然，我們必須好好討論一下，好澄清這個將長度與面積混為一談的迷思概念!
時間的計算基本上不是太難，
但每回我教到這個單元時，痛苦指數就直直上升，
為什麼呢? 下面的影片會說明一切。
2013.12.16 ~ 時間與時刻(線段圖) (舊教材安排在三上)
在上兩節課中，孩子們理解了12和24時制，
並能分辨”時刻”和”時間”在數學上的意義，
而今天這堂課希望能讓孩子們察覺到在數學運算時，
時刻與時間在概念上是如何轉換的，
而這種抽象的”轉換”就要靠線段圖來將它具體化了!
由於時間是非常貼近孩子們的生活經驗，
因此一開始就先請一個孩子說出他最喜歡看的節目以及播出時間，
並將它所說的內容當成今天的討論的題目。
布題:
萌學園從下午1時播到下午2時，
播放時間為1小時。
請試著將這段話的內容用線段圖來表示。
經過行間巡視後，
發現約三分之二的人能畫出自己所認為的線段圖，
但正確的人數不超過10個，
由於時刻與時間在概念的轉換容易產生迷思，
因此決定用全班討論的方法來逐一討論不同的畫法，
如果有說不清楚或疑惑的地方，
再採取快速小組討論來進行討論與釐清。
下面僅將討論結果，簡記在下面。
由於孩子們才三年級，因此在全班討論的過程中，
不少的地方是需要老師有效提問，以協助釐清迷思的。
策略1:
(不正確，時刻是表示一個時間點，是一個時間上的位置，
因此不會產生”量”，所以下午1時不應該標示出在線段上的”距離”。)
策略2:
(正確，時刻是時間點，線段圖上有標出兩個時間點，
且經過的1個小時，也有標示出來。)
策略3:
(不正確，時刻是表示一個時間點，
所以下午1時和下午2時不應該標示出在線段上的”距離”。
此外，下午1時到下午2時所經過的1時是連續的時間，
因此不應該畫成兩條線段。)
但這線段圖完成了嗎?
當然沒有，如果題目改成
萌學園從下午1時播到下午2時，
播放時間為幾個小時?
又該如何用線段圖來表徵出答案呢?
在數學算式上，孩子們當然知道是2-1=1
但是這個”2″代表什麼呢?
經過討論，大家都同意”時刻”是不能減”時刻”的，
那算式中的”2小時”究竟在哪裡呢?
這就是每回教時間與時刻這單元時，
課本上最說不清的地方，
讓我們來看看課本上的內容，
(康軒，三上)
從課本的線段圖中，
似乎有誤導大家認為，
是7時54分(時刻)-7時35分(時刻)= 19分鐘(時間)，
但我們很清楚時刻是不能加減的，
因此接下來我要孩子們做的，也就是最困難的部分，
如何將
萌學園從下午1時播到下午2時，
播放時間為幾個小時?
的題意用線段圖表示出來。
在孩子們絞盡腦汁之下，僅有一個孩子畫出來，
其實就算是沒有一個孩子能畫出來，
只要他們能察覺到其中不合理的地方，
老師依然可以引導孩子們去逐步完成正確的線段圖。
最後我們達到的共識是
在討論時的口語說明應該要清楚說明算式中數字所代表的意義，
而線段圖是一個可以將對時間和時刻想法清楚說明的好方法!
後記:
各位相信三年級的孩子們只要像上述這樣討論過，
就真的全都懂了嗎?
當然不可能，
將抽象的時間觀念轉換成線段圖，也只是半具體而已，
所以在這堂課上完後，
讓孩子們帶了一張數學日記回家，
日記上只有兩題數學，分別要畫出線段圖和寫出算式(如下):
1.多拉A夢的電影卡通從週日下午6時播放到下午8時，
請問這部電影播放了多久?
(此題是要複習當天所學的內容)
2.小丸子的卡通從週六上午8時播放到上午9時，
請問這部電影播放了多久?
(此題是要檢視如果時刻改到上午，孩子們是依然能將經驗類推。)
下面是未上課討論前，
孩子們在第二題所畫出不同的線段圖總整理，
從這些線段圖中，可清楚的看出孩子們對間與時刻依然有不少的迷思!
我們在課堂上先就第一題進行小組討論，
因為是和舊經驗呼應，
所以達成共識並不困難!
接下來就是第二題了，
孩子們在有了第一題的經驗，以及小組討論的加持下，
七組所送出的共識僅有1組有問題，
其餘的都只是把凌晨0時，寫成凌晨12時或只寫0時而已。
在概念上並沒有什麼問題，
但如果沒有線段圖的輔助，
那麼算式中的4-3=1是無法回到題目去說明的，
也就是如果要用這個概念來解題，
算式的本身是不夠完整的。