一、單選題 解: 解:$$4\left( x^{ 2 }+1 \right) +{ \left( x+1 \right) }^{ 2 }\left( x-3 \right) +{ \left( x-1 \right) }^{ 3 }\\ =\left( 4x^{ 2 }+4 \right) +\left( x^{ 3 }-x^{ 2 }-5x-3 \right) +\left( x^{ 3 }-3x^{ 2 }+3x-1 \right) \\ =2x^{ 3 }-2x=2x(x^{ 2 }-1)=2x\left( x+1 \right) \left( x-1 \right) $$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解: $${ \left( a_{ n+1 } \right) }^{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } {
\left( a_{ n } \right) }^{ 2 }\Rightarrow \log { { \left( a_{ n+1 } \right) }^{ 2 } } =\log { \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } { \left( a_{ n } \right) }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow 2\log { \left( a_{ n+1 } \right) } =-\frac { 1 }{ 2 } +2\log { \left( a_{ n } \right) } \Rightarrow \log { \left( a_{ n+1 } \right) } -\log { \left( a_{ n } \right) } =-\frac { 1 }{ 4 } \\ \Rightarrow b_{ n+1 }-b_{ n }=-\frac { 1 }{ 4 } \Rightarrow \left<
b_{ n } \right> 為等差數列,公差為-\frac { 1 }{ 4 } $$ 解: $$\left( \frac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 4 }^{ 2 } } \right) \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { 4 }^{ 2 } } \right) =0\Rightarrow \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 4 }^{ 2 } } \right) \left( \frac { x }{ 3 } +\frac { y }{ 4 } \right) \left( \frac { x }{ 3 } -\frac { y }{ 4 } \right) =0\\ \Rightarrow \left( \frac { { x }^{ 2 } }{ { 5 }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { 4 }^{ 2 } } \right) =0或4x+3y=0或4x-3y=0$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 解:$$\left( 1 \right) \times :\begin{cases} { \log { 3^{ 7 } } }=7\log { 3 } =7\times 0.4771\approx 3.34 \\ \log { 7^{ 3 } } =3\log { 3 } =3\times 0.8451\approx 2.54 \end{cases}\Rightarrow 3^{ 7 }>7^{ 3 }\\ \left( 2 \right) \times :\begin{cases} { \log { 5^{ 10 } } }=10\left( 1-\log { 2 } \right) =10\times 0.699\approx 7 \\ \log { 10^{ 5 } } =5 \end{cases}\Rightarrow 5^{ 10 }>10^{ 5 }\\ \left( 3 \right) \times :\begin{cases} { \log { 2^{ 100 } } }=10\log { 2 } =100\times 0.301=30.1 \\ \log { 10^{ 30 } } =30 \end{cases}\Rightarrow 2^{ 100 }>10^{ 30 }\\ \left( 4 \right) \times :\log _{ 2 }{ 3 } =\frac { \log { 3 } }{ \log { 2 } } =\frac { 0.4771 }{ 0.301 } \approx 1.59\\ \left( 5 \right) \bigcirc :{ 2 }^{ 3.5 }={ 2 }^{ 3 }\times { 2 }^{ 0.5 }=8\times \sqrt { 2 } =8\times 1.414\approx 11.3>11\Rightarrow { 2 }^{ 3.5 }>11\Rightarrow 3.5>\log _{ 2 }{ 11 } $$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解: 將死亡率由小至大排列,第31個就是中位數; (1)\(\bigcirc : \cos{60^\circ}=(\frac{1}{2},0)=D點\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}\) 解: $$\sin{\theta}=-\frac{2}{3}且\cos{\theta}>0\Rightarrow
\cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{3}\\ 答:\(b=\bbox[red,2pt]{(1,2)}\) 解: $$(1)\times:C_1半徑=\frac{1}{2}\times\overline{AB}=\frac{1}{2}\times 5=2.5\ne2\\(2)\times:C_1的圓心O_1=\left(\frac{3+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},2\right)\\ (3)\bigcirc:4\times\frac{3}{2}+3\times 2=6+6=12\\ (4)\bigcirc:C_2的圓心O_2在\angle AOB的角平分線上,即斜率=1的直線上\\(5)\times:理由同(4)$$ 故選:\(\bbox[red,2pt]{(3,4)}\) 解:$$(1)\bigcirc :\vec { w } =(a,b)\Rightarrow \begin{cases} \vec { w } \cdot \vec { v } =0 \\ \left| \vec { w } \right| =\left| \vec { v } \right| \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+\sqrt { 5 } b=0 \\ a^{ 2 }+b^{ 2 }=9 \end{cases}\Rightarrow (a,b)=\begin{cases} (\sqrt { 5 } ,-2) \\ (-\sqrt { 5 } ,2) \end{cases}\\ (2){ \bigcirc :\left| \vec { v } +\vec { w } \right| }^{ 2 }={ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 }+2\vec { v } \cdot \vec { w } +{ \left| \vec { w } \right| }^{ 2 }={ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 }-2\vec { v } \cdot \vec { w } +{ \left| \vec { w } \right| }^{ 2 }={ \left| \vec { v } -\vec { w } \right| }^{ 2 }\\ (3)\times :\cos { \theta } =\frac { \left( \vec { v } +\vec { w } \right) \cdot \vec { w } }{ \left| \vec { v } +\vec { w } \right| \left| \vec { w } \right| } =\frac { \vec { v } \cdot \vec { w } +{ \left| \vec { w } \right| }^{ 2 } }{ \left| \vec { v } +\vec { w } \right| \left| \vec { w } \right| } =\frac { 0+9 }{ \sqrt { { \left| \vec { v } \right| }^{ 2 }+{ \left| \vec { w } \right| }^{ 2 } } \times \left| \vec { w } \right| } \\ =\frac { 9 }{ \sqrt { 18 } \times 3 } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \Rightarrow \theta =45°\\ (4)\times :{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }={ \left| a\vec { v } +b\vec { w } \right| }^{ 2 }=a^{ 2 }|\vec { v } |^{ 2 }+2ab(\vec { v } \cdot \vec { w } )+b^{ 2 }|\vec { w } |^{ 2 }=9a^{ 2 }+0+9b^{ 2 }\\ \Rightarrow |\vec { u } |=3\sqrt { a^{ 2 }+b^{ 2 } } \\ (5)\bigcirc :(1,0)=c\vec { v } +d\vec { w } \Rightarrow \begin{cases} (1,0)=c(2,\sqrt { 5 } )+d(\sqrt { 5 } ,-2)=(2c+\sqrt { 5 } d,-2d+{ \sqrt { 5 } }c) \\ (1,0)=c(2,\sqrt { 5 } )+d(-\sqrt { 5 } ,2)=(2c-\sqrt { 5 } d,2d+{ \sqrt { 5 } }c) \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases} 2c+\sqrt { 5 } d=1 \\ -2d+{ \sqrt { 5 } }c=0 \end{cases} \\ \begin{cases} 2c-\sqrt { 5 } d=1 \\ 2d+{ \sqrt { 5 } }c=0 \end{cases} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} (c,d)=\left( \frac { 2 }{ 9 } ,\frac { \sqrt { 5 } }{ 9 } \right) \\ (c,d)=\left( \frac { 2 }{ 9 } ,\frac { -\sqrt { 5 } }{ 9 } \right) \end{cases}\Rightarrow c>0$$ 故選:\(\bbox[red,2pt]{(1,2,5)}\) 解: 只有(4)及(5)的圖形將圓C完全包住,故選:\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\) (1)\(\bigcirc:\)原點與球心(1,2,3)的距離平方為\(1^2+2^2+3^2=14\) 解:$$\left( 1 \right) \times { : }f\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) =正\times 負\times 正<0\\ (2)\times { : }f\left( x \right) =2\Rightarrow x(x-1)(x+1)=2\Rightarrow x^{ 3 }-x-2=0\\ 若有整數解,其解為x=\pm 1,\pm 2,但將其代入皆不合\\ (3)\bigcirc :令g\left( x \right) =f\left( x \right) -(x^{ 2 }+1)=x^{ 3 }-x^{ 2 }-x-1\Rightarrow \begin{cases} g\left( 2 \right) =8-4-2-1=1>0 \\ g\left( 1 \right) =1-1-1-1=-2<0 \end{cases}\\ \Rightarrow g\left( x \right) =0有實數解介於1與2之間\\ (4)\times :f\left( x \right) =x\Rightarrow x^{ { 3 } }-2x=0\Rightarrow x=0,\pm \sqrt { 2 } \\ (5)\times { : }令g\left( x \right) =f\left( x \right) -2=x^{ 3 }-x-2,則\\ g\left( a \right) =0\Rightarrow a^{ 3 }-a-2=0\Rightarrow -a^{ 3 }+a-2=-4\Rightarrow g\left( -a \right) =-4\Rightarrow f\left( -a \right) =-2\neq 0$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 第貳部份:選填題 解:$$\left\{ \begin{array}{ll} \frac { a }{ 1-r } =5 \\ \frac { a }{ 1-3r } =7 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} a=\frac { 35 }{ 8 } \\ r=\frac { 1 }{ 8 } \end{array} \right. \Rightarrow \frac { a }{ 1-2r } =\frac { \frac { 35 }{ 8 } }{ 1-\frac { 2 }{ 8 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { 35 }{ 6 }} $$ 解: $$\cot { \angle AEB } =\frac { 2\sqrt { 6 } }{ 5 } =\frac { \overline { EB } }{ \overline { AB } } \Rightarrow \begin{cases} \overline { EB } =2\sqrt { 6 } a \\ \overline { AB } =5a \end{cases}\Rightarrow { \overline { CE } }^{ 2 }={ \overline { EB } }^{ 2 }+{ \overline { BC } }^{ 2 }=24{ a }^{ 2 }+25{ a }^{ 2 }\\ \Rightarrow \overline { CE } =\sqrt { 24{ a }^{ 2 }+25{ a }^{ 2 } } =7a\Rightarrow \cot { \angle CED } =\frac { \overline { CE } }{ \overline { CD } } =\frac { 7a }{ 5a } =\bbox[red,2pt]{\frac { 7 }{ 5 } } $$ 解: 1男2女+2男1女=\(\frac{C^{20}_{1}C^{15}_{2}+C^{20}_{2}C^{15}_{1}} {C^{35}_{3}}=\frac{2100+2850}{6545}=\frac{4950}{6545}=\frac{990}{1309}=\bbox[red,2pt]{\frac{90}{119}}\) 解: $$\angle A=\angle C=90^{ \circ }\Rightarrow \angle B+\angle D=180^{ \circ }\Rightarrow \cos { \angle B } =-\cos { \angle D } \\ \Rightarrow \frac { 1+25-{ \overline { AC } }^{ 2 } }{ 2\times 5\times 1 } =-\frac { 49+25-{ \overline { AC } }^{ 2 } }{ 2\times 5\times 7 } \Rightarrow \frac { 26-{ \overline { AC } }^{ 2 } }{ 10 } =-\frac { 74-{ \overline { AC } }^{ 2 } }{ 70 } \\ \Rightarrow 182-7{ \overline { AC } }^{ 2 }=-74+{ \overline { AC } }^{ 2 }\Rightarrow 256=8{ \overline { AC } }^{ 2 }\Rightarrow \overline { AC } =\bbox[red,2pt]{\sqrt { 32 }} $$ 解: 答:A、B、C的質量分別為\(\bbox[red,2pt]{4、1、2}\)公克 解: 解: |