世界上天才有很多，但是印度有一位数学家，他没有受过正规的训练，却表现出了异于常人的数学天赋，仅凭“直觉”就能写下复杂的数学公式，并且没有人能看懂，直到死后才有人发现这些公式的秘密，连英国的大数学家哈代都说他“发现并创造了数学”，但这个人却在33岁突然死去，这个人就是印度天才数学家拉马努金，他做的事情一定会让你叹为观止。 1887年，印度南部一个穷困的小镇里，出生了一名叫做拉马努金的小男孩，大部分出生在这样家庭的人，都会以平淡无奇度过一生，但偏偏命运女神挑中了这个男孩，让他在短暂的一生中绽放出了不一样的光芒。 在拉马努金上中学的时候，家里来了两个租客，他们是政府大学的大学生，当时的拉马努金第一次接触到数学，就表现出了极大的兴趣，这两位大学生就成了他最好的数学启蒙老师。 在拉马努金11岁的时候，就已经掌握了大学高等数学的全部知识，这两名大学生已经无法教授他更多，就给了他一本高等三角学，经过两年的研究，在13岁的时候拉马努金不仅全部掌握，而且还发现了更复杂的定理。 在拉马努金16岁的时候，他得到了一本纯数学概论，里面包含了5000多个数学公式，拉马努金如获至宝，这本书仿佛打开了他的任督二脉，他不断演化证明这本书里的公式，短短的一年时间竟然把这5000多个公式都用自己的方式，全部证明了一遍。 高中毕业拉马努金上了大学，但由于他严重偏科，几乎把所有时间都用在了研究数学上，因此他的英语和文科严重不及格，导致他最后没能毕业。 拉马努金离开大学后，继续独立从事数学研究，这个时候他极度穷困，经常连饭都吃不上，所以他的身体越来越差，因为找不到工作，他只能给即将考大学的学生补习功课，但是即使他在最艰苦的时候，也没有放弃对数学的狂热。 天才的闪光点总是会被人看到的，毕业两年后，拉马努金遇到了当时印度数学协会的会长艾耶尔，拉马努金给他展示了平时研究数学的笔记本，艾耶尔看后大为震惊，把他推荐给了自己的一位数学家朋友。 这位数学家看后首先怀疑这些研究成果是否出自拉马努金，因为里面有很多公式他都没见过，但证明一下感觉又都对，于是他决定给拉马努金一个机会，让他在税务局工作，以养活自己继续从事数学研究。 这样拉马努金终于第一次可以不用饿着肚子研究数学了，之后拉马努金开始在数学领域大展拳脚，首先他在当时著名的《印度数学学会杂志》上发表了一个公式求解，就是根号下的无限序列。 但是6个月过去了，还是没有收到任何的任何人的解答，于是拉玛努金亲自提供了解决方案，这个公式也是后来著名的拉马努金恒等式。 随着研究的不断深入，拉马努金已经在印度数学圈建立了一定的知名度，因为当时英国在数学界的研究很深入，于是很多人建议他去联系英国的数学家，拉马努金把自己研究出来的一长串数学公式，给当时英国剑桥大学的几位著名的数学家发信。 他们分别是贝克，霍布森，哈代，这是都是同时代的著名数学家。但是只有哈代注意到了这位印度小伙的数学天赋。 哈代正好是这个领域的专家，但是他却从来见过这样的东西，这些公式看起来非常不能理解，但只要看一眼就知道，只有一流的数学家才能写出它们。于是哈代回信让拉马努金来到剑桥三一学院和他一起从事数学研究，这段时间是拉马努金人生的黄金时代。 拉马努金的到来，也被哈代称作为他一生中最浪漫的事情，可见当时已经是顶级数学家的哈代，也对拉马努金的天才赞不绝口，他问拉马努金是如何写出这些公式的，因为显然这些公式不是可以通过常规推倒得出的。 拉马努金说他经常在梦中被印度女神娜玛卡尔(namagiri)的启迪得到灵感，早上醒来就能凭直觉写下这些数学公式和猜想，起初哈代觉得拉马努金在胡扯，但是在一次次拉马努金仅仅通过睡觉就能第二天告诉他一些难以解答的难题时，哈代真的觉得拉马努金拥有异于常人的特殊能力。 拉马努金说他在做梦时，思路会变得无比清晰，他可以接收到巨大的信息量，在一个特别的梦里，他说他看到了一面巨大的红墙，然后上面出现了一只手，写下了一个又一个公式，他记住了那些公式，然后等他醒来时，就立刻用笔记本记录了下来。 而他隐约记得，那双写下公式的手就是印度女神娜玛卡尔，他仅仅靠做梦就能看到这些神奇的数学公式，然而，没有人会相信这一切，但又不得不为他写出的那些超凡公式而惊叹，因为，这些公式很多连拉马努金自己都没有证明过。 实际上，拉马努金所写的大部分共识，直到现在在数学界都是最前沿的，他从小不是接受的正统数学教育，而是用自己的认知建立了一套数学体系，他有着难以置信的解题思路和方法，很多都是前人多没有想到过的，这套体系现在看来是野蛮的，疯狂的。 到了剑桥期间，拉马努金在哈代的帮助下很快学习了很多正规的数学研究方法，从一个狂热业余爱好者到了写出了世界级的数学论文的专家。 在拉马努金与哈代合写的论文中，其中有一篇震惊了整个数学界，这篇论文为困扰了数学家几个世纪的整数分拆，提供了一种可靠的计算方法，正是因为这篇论文，拉马努金被提名为皇家学会会员，这是英国数学界的最高荣誉，他也是有史以来最年轻的会员。 拉马努金从那之后，就如痴如醉地投入到数学的研究之中，写下了一个又一个惊人的公式，他发誓要解决他所在领域最难的课题。 但是由于拉马努金长年累月投入到数学的狂热研究中，经常不吃饭，不睡觉，导致疾病缠身，肺结核一直困扰着他，由于思乡心切，他在重病之后执意回到印度，结果连最基本的医疗保障也没有了。 回到印度后，虽然拉马努金还是坚持研究数学，但是只过了一天，也就是1902年，拉马努金就因病去世了，年仅33岁，人类数学界就这样失去了一个难得的天才。 拉马努金的亦师亦友哈代曾感慨说，我们是在学习数学，而拉马努金则是发现并创造了数学，可见这是多么高的赞誉，还是来自于同为数学家的哈代。哈代在自己设计的一种关于数学天才的非正式的评分表中，给自己评了25分，给另一个杰出的数学家李特尔伍德评了30分，给他同时代最伟大的数学家希尔伯特（D. Hilbert）评了80分，而他给拉马努金，评了100分。 他甚至把拉马努金的天才比作至少和数学之神欧拉（L. Euler）相当，如果拉马努金出生在欧拉的时代，他也许比欧拉还要出色。 拉马努金留下了3个厚厚的笔记本，全部是他凭直觉写出来的4000个公式，很多公式他都没有证明，但日后却被证明了是正确的。比如比利时数学家德利涅（V. Deligne）于1973年证明了拉马努金1916年提出的一个猜想，并因此获得了1978年的菲尔兹奖，这是世界上最高的数学奖荣誉。 拉马努金是人类过去一千年里诞生的超级伟大的数学家，他的数学直觉甚至令今天的数学家都感到迷惑，在他死后近100年里，他笔记本中记录的秘密被不断地被挖掘出来。 他发现的定理被应用到他活着的时候，很难想象到的领域，除了在纯粹数学方面做出的成就以外，他发现的好几个定理在包括粒子物理，统计力学，计算机科学，密码技术和空间技术等不同领域都起着相当重要的作用。 1919年，拉马努金生命的最后一年，也是他回到印度故乡的时候，他的女神娜玛卡尔在梦中给了他最后一个灵感，模θ函数，当这个公式写出来的时候，没人能看懂，包括当时最顶尖的数学家，直到2012年，这个公式才被破解。 到了近些年，数学家才发现这个公式可以用来描述黑洞的行为，要知道当拉马努金首次，提出这种公式的时候，人们还不知道黑洞是什么。 拉马努金猜测，在输入特殊值时，也许能这样描述模θ函数，它和模形式毫不相像，但特性类似，这种特殊值称为奇点，拉马努金相信，对于每一个这样的函数，都存在一个模θ函数，使得它们不仅奇点相同，奇点的函数值也以，几乎同样的速率趋近于无穷。 而黑洞的中心其实就是一个奇点，在这个奇点上，时空曲率和物质密度都趋于无穷大，时空流形达到尽头，引力弯曲成了一个陷阱，变成一个无限吞灭物质的无底洞，拉马努金一生坚信着，“娜玛卡尔女神在梦中给予他灵感”在那一刻，他一定是看到了奇点，也是最接近黑洞真相的人。 而拉马努金留下的几千个公式，大部分都没有被证明出来，如果真的像他所说，他的所有数学公式都是在梦中通过和娜玛卡尔女神的沟通得来，那么可以大胆地猜测一下，这些没有被证明过的公式也应该是正确的，并且包含了巨大的秘密，也许对我们理解整个宇宙都有莫大的帮助。 如果拉马努金不是英年早逝，很难想象这位天才级的数学家还能写出什么样的公式，人脑的潜力真的是无限的，在某种程度上是可以洞悉宇宙的，虽然人类很渺小，但也许在人类诞生的一刻起，宇宙的秘密就以某种方式印刻在大脑中，等待着我们去发现。 拉馬努金求和（英語：Ramanujan summation）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。 求和法[编辑]拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得： 12f(0)+f(1)+⋯+f(n−1)+12f(n)=12[f(0)+f(n)]+∑k=1n−1f(k)=∫0nf(x)dx+∑k=1pBk+1(k+1)![f(k)(n)−f(k)(0)]+Rp{\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}拉馬努金寫道：[1]當p趨近於無限大， ∑k=1xf(k)=C+∫0xf(t)dt+12f(x)+∑k=1∞B2k(2k)!f(2k−1)(x){\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}，其中C是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設R趨近於0，而x趨近於無限大；當一函數 f(x) 在x = 0不發散： C(a)=∫0af(t)dt−12f(0)−∑k=1∞B2k(2k)!f(2k−1)(0){\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}其中拉馬努金假設a=0{\displaystyle \scriptstyle a\,=\,0}  C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。 發散級數的和[编辑]下文中，(ℜ){\displaystyle \scriptstyle (\Re )} 舉例來說，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的(ℜ){\displaystyle \scriptstyle (\Re )}為: 1−1+1−1+⋯=12 (ℜ){\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )}。拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念[2][3]，亦即部分和不會收斂到(ℜ){\displaystyle \scriptstyle (\Re )}這個值。 又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉馬努金和(ℜ){\displaystyle \scriptstyle (\Re )}： 1+2+3+4+⋯=−112 (ℜ){\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )}延伸至正偶數冪，可得： 1+22k+32k+⋯=0 (ℜ){\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )}而奇數冪的結果則與伯努利數有關： 1+22k−1+32k−1+⋯=−B2k2k (ℜ){\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )}目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數∑k=1∞f(k){\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} 如此拉馬努金求和的定義（標作∑n≥1ℜf(n){\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)} 特別是如下例子： ∑n≥1ℜ1n=γ{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma }其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。 拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出 ∫a∞xm−sdx=m−s2∫a∞xm−1−sdx+ζ(s−m)−∑i=1aim−s+am−s−∑r=1∞B2rΓ(m−s+1)(2r)!Γ(m−2r+2−s)(m−2r+1−s)∫a∞xm−2r−sdx{\displaystyle {\begin{array}{l}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-s}dx={\frac {m-s}{2}}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum \limits _{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\-\sum \limits _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}dx\end{array}}}，此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。 迭代方程式為有限的，因為當m−2r<−1{\displaystyle m-2r<-1} 其中 要是Λ→∞{\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty } 相關條目[编辑]參考文獻[编辑] |
拉 马 努金 和
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