數學科詳解一、單選題 1. 數列\(a_1 + 2,\cdots,a_k+2k,\cdots,a_{10} + 20\)共有十項,且其和為 240,則 \(a_1+\cdots+a_k+\cdots+a_{10}\)之值為 (1) 31 (2) 120 (3) 130 (4) 185 (5) 218 解:$$(a_1 + 2)+\cdots+(a_k+2k)+\cdots+(a_{10} + 20)=\sum_{k=1}^{10}{(a_k+2k)}=\sum_{k=1}^{10}{a_k}+2\sum_{k=1}^{10}{k}\\ =\sum_{k=1}^{10}{a_k}+2\times 55=\sum_{k=1}^{10}{a_k}+110=240\Rightarrow \sum_{k=1}^{10}{a_k}=240-110=130,\\故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 2. 令 \(a = \cos{(π^2 )}\),試問下列哪一個選項是對的? (1)\(a=-1\) (2)\(-1<a\le-\frac{1}{2}\) (3)\(-\frac{1}{2}<a\le 0\) (4) \(0<a\le \frac{1}{2}\) (5) \(\frac{1}{2}<a\le 1\) 解: $$a=\cos{(\pi^2)}=\cos{(3.14\pi)}=\cos{(1.14\pi)}=\cos{(1.14\times 180^\circ)}= \cos{205^\circ}\\ \Rightarrow \cos{180^\circ}< a <\cos{240^\circ} \Rightarrow -1<a<-\frac{1}{2}$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\) 3. 已知 f (x), g(x)是兩個實係數多項式,且知 f (x)除以g(x)的餘式為\(x^4 −1\)。試問下列哪一個選項不可能是 f (x)與g(x)的公因式? (1) 5 (2) x-1 (3) \(x^2-1\) (4) \(x^3-1\) (5)\(x^4-1\) 解: 被除式與除式的公因式=除式與餘式的公因式; 4. 甲、乙、丙三所高中的一年級分別有3、4、5 個班級。從這12 個班級中隨機選取一班參加國文抽考,再從未被抽中的11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在同一所學校的機率最接近以下哪個選項? (1) 21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29% 解: 兩次抽考都抽中甲校的機率為\(\frac{3}{12}\times\frac{2}{11}\); 5. 假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮,其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為45°,則丙、丁兩鎮間的距離約為 (1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里 解: 由題意知: 甲、乙、丙構成一個正三角形,相對位置如上圖。 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\) 6. 試問坐標平面上共有幾條直線,會使得點O(0,0)到此直線之距離為 1,且點 A(3,0)到此直線之距離為2? (1) 1 條 (2) 2 條 (3) 3 條 (4) 4 條 (5)無窮多條 解: 三條藍色的公切線(見上圖)符合要求,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 二、多選題 (1) 3.1416 (2) \(\sqrt{3}\) (3) \(\log_{10}{\sqrt{5}}+\log_{10}{\sqrt{2}}\) (4) \(\frac{\sin{15^\circ}}{\cos{15^\circ}}+\frac{\cos{15^\circ}}{\sin{15^\circ}}\) 解:$$(1)\bigcirc: 有限小數是有理數\\(2)\times: \sqrt{3}不是有理數\\(3)\bigcirc: \log_{10}{\sqrt{5}}+\log_{10}{\sqrt{2}}=\log_{10}{\sqrt{10}}=\frac{1}{2}是有理數\\(4)\bigcirc: \frac{\sin{15^\circ}}{\cos{15^\circ}}+\frac{\cos{15^\circ}}{\sin{15^\circ}} =\frac{\sin^2{15^\circ}+\cos^2{15^\circ}}{\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}\sin{30^\circ}}=4是有理數$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,4)}\) 8. 坐標平面上四條直線\(L_1,L_2 ,L_3 ,L_4\)與x軸、 y軸及直線 y = x的相關位置如圖所示,其中\(L_1\) 與\(L_3\) 垂直,而\(L_3\) 與\(L_4\) 平行。設\(L_1,L_2 ,L_3 ,L_4\)的方程式分別為\( y=m_1x , y=m_2x , y = m_3x\)以及\( y = m_4 x + c\) 。試問下列哪些選項是正確的? (1) \(m_3>m_2>m_1\) (2) \(m_1\cdot m_4=-1\) (3) \(m_1<-1\) (4) \(m_2\cdot m_3<-1\) (5) c>0 $$(1)\times :應該是 m_3>m_1>m_2\\ (2)\bigcirc :\begin{cases}L_1\bot L_3\\ L_3//L_4 \end{cases}\Rightarrow L_4\bot L_1\Rightarrow m_1\cdot m_4=-1\\ (3)\bigcirc :\begin{cases}1>m_4>0\\m_1\cdot m_4=-1\end{cases}\Rightarrow m_1<-1 \\ (4)\bigcirc :\begin{cases}m_1\cdot m_3=m_1\cdot m_4=-1\\m_2<m_1<-1\end{cases}\Rightarrow m_2\cdot m_3<-1\\(5)\times :L_4的Y軸截距為負\Rightarrow c<0$$ 答:\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\) 9. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為「知名度」)。結果如下:在95% 信心水準之下,該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為 [ 0.50 , 0.58 ]、[ 0.08
, 0.16 ]。試問下列哪些選項是正確的? 解: 在95% 信心水準之下的信賴區間為\([p-2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},p+2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]\) 故選:\(\bbox[red,2pt]{(1,2)}\) 10. 設a,b,c為實數,下列有關線性方程組\(\begin{cases}x+2y+az=1\\ 3x+4y+bz=-1\\ 2x+10y+7z=c\end{cases}\)的敘述哪些是正確的? 解: $$\begin{cases}x+2y+az=1\cdots(1)\\ 3x+4y+bz=-1\cdots(2)\\
2x+10y+7z=c\cdots(3)\end{cases} \xrightarrow{式1\times(-3)+式2,式1\times(-2)+式3} \begin{cases}2y+(3a-b)z=4\cdots(3)\\ 6y+(7-2a)z=c-2\cdots(4)\end{cases}\\ 故選:\(\bbox[red,2pt]{(4,5)}\) 11. 如圖所示,正立方體 ABCD - EFGH 的稜長等於 2 (即\(\overline{AB} = 2\) ),K 為正方形ABCD的中心,M 、N 分別為線段BF 、EF 的中點。試問下列哪些選項是正確的? (1)\(\overrightarrow{KM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}\) (2) (內積)\(\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{AB}=1\) (3) \(\overline{KM}=3\) (4)ΔKMN 為一直角三角形 (5) ΔKMN 之面積為\(\frac{\sqrt{10}}{2}\) 解: 假設E為原點,X軸、Y軸及Z軸如上圖所示,則\(A=(0,0,2), B=(0,2,2), C=(2,2,2), D=(2,0,2), E=(0,0,0)\), 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\) 第二部分:選填題 A. 從1 到100 的正整數中刪去所有的質數、2 的倍數及3 的倍數之後,剩下最大的數為? 解: 100: 2的倍數、99:3的倍數、98:2的倍數、97:質數、96:2的倍數、95、94:2的倍數.... 答:\(\bbox[red,2pt]{95}\) B. 坐標平面上有四點O(0,0) , A(−3,−5) , B(6,0) ,C(x, y)。今有一質點在O點沿\(\overrightarrow{AO}\)方向前進\(\overline{AO}\) 距離後停在P,再沿\(\overrightarrow{BP}\)方向前進\(2\overline{BP}\) 距離後停在Q。假設此質點繼續沿\(\overrightarrow{CQ}\)方向前進\(3\overline{CQ}\) 距離後回到原點O,則(x, y)=? 解: $$令P=(x_p,y_p),由\overrightarrow {AP}=2\overrightarrow{AO}\Rightarrow (x_p+3,y_p+5)=2(3,5)\Rightarrow P=(3,5)\\ C. 抽獎遊戲中,參加者自箱中抽出一球,確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得消費劵,其金額分別為(抽得藍色球者)2000 元、(抽得紅色球者)1000 元。箱中已置有2 顆藍色球及5 顆紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下,主辦單位希望參加者所得消費劵金額的期望值為300 元,則主辦單位應於箱內再置入? 顆其他顏色的球 解: 答:放入\(\bbox[red,2pt]{23}\)顆其他色球 D. 坐標平面上有兩條平行直線。它們的x 截距相差20 , y 截距相差15。則這兩條平行直線的距離為? 解:$$\begin{cases}L_1:y=mx+a\\L_2:y=mx+b\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}L_1:x截距-a/m,y截距a\\L_2:x截距-b/m,y截距b\end{cases}\\\Rightarrow \begin{cases}\left|\frac{a-b}{m}\right|=20\\|a-b|=15\end{cases}\Rightarrow |m|=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Rightarrow 兩平行線相距\left|\frac{a-b}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\left|\frac{15}{5/4}\right|=\bbox[red,2pt]{12}$$ E. 假設\(\Gamma_1\) 為坐標平面上一開口向上的拋物線,其對稱軸為\(x=-\frac{3}{4}\)且焦距(焦點到頂點的距離)為\(\frac{1}{8}\)。若\(\Gamma_1\) 與另一拋物線\(\Gamma_2: y = x^2\) 恰交於一點,則\(\Gamma_1\) 的頂點之y 坐標為 ?。(化成最簡分數) 解:$$假設\Gamma_1的頂點坐標為(-\frac{3}{4},a)\Rightarrow \Gamma_1:(x+\frac{3}{4})^2=4\cdot\frac{1}{8}\cdot(y-a)=\frac{1}{2}(y-a)\\將\Gamma_2:y=x^2代入\Gamma_1\Rightarrow (x+\frac{3}{4})^2=\frac{1}{2}(x^2-a)\Rightarrow x^2+3x+\frac{9}{8}+a=0\\由於只有一組解,所以判別式=0\Rightarrow 9-4(\frac{9}{8}+a)=0\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\frac{9}{8}}$$ F. 某公司為了響應節能減碳政策,決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的75%。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標,則該公司每年至少要比前一年減少 ? % 的二氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位,以下四捨五入。) 解: $$(1+r)^5=0.75=\frac{3}{4}\Rightarrow 5\log{(1+r)}= \log{3}-2\log{2}\Rightarrow \log{(1+r)} =\frac{0.4771-2\times 0.301}{5}\\ =-0.02498 =-1+0.97502 \xrightarrow{查表}-1+\log{9.445}= \log{0.9445}\\\Rightarrow 1+r=0.9445\Rightarrow r=-0.0555,即減少 \bbox[red,2pt]{5.6\%}$$ G. 坐標空間中xy平面上有一正方形,其頂點為O(0,0,0) , A(8,0,0) , B(8,8,0) ,C(0,8,0)。另一點P在xy平面的上方,且與 O, A, B, C 四點的距離皆等於 6。若x + by + cz = d 為通過 A, B , P三點的平面,則(b,c,d) =? 解: 令\(P=(4,4,a), Q\)為P在XY平面上的投影點,所以Q=(4,4,0); 在直角\(\triangle PQB\)中,\(\overline{PB}^2=\overline{QP}^2+\overline{QB}^2 \Rightarrow 6^2=a^2+((8-4)^2+(8-4)^2+0^2)\Rightarrow a=2\) \(x+by+cz=d\)經過A, B , P三點,即 $$\begin{cases}8+0+0=d\\8+8b=d\\4+4b+2c=d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}d=8\\b=0\\c=2\end{cases} \Rightarrow (b,c,d)=\bbox[red,2pt]{0,2,8}$$ H. 有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點\(F_1,F_2\),且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設P 為此橢圓與雙曲線的一個交點,且\(\overline{PF_1}\times\overline{PF_2} = 64\),則\(\overline{F_1F_2} =\)? 解: $$令\begin{cases}橢圓: \frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1\\雙曲線: \frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a_1\\\overline{PF_1}-\overline{PF_2}=2a_2\end{cases} \\\Rightarrow \left(\overline{PF_1}+\overline{PF_2}\right)^2-\left(\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right)^2=4a_1^2-4a_2^2\\\Rightarrow 4\overline{PF_1}\times\overline{PF_2}=4a_1^2-4a_2^2\Rightarrow \overline{PF_1} \times \overline{PF_2} =a_1^2-a_2^2=64\\由雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等\equiv 2a_2=2b_1\Rightarrow a_2=b_1\Rightarrow a_1^2-b_1^2=c_1^2=64\\ \Rightarrow c_1=8\Rightarrow \overline{F_1F_2}=2c_1=2\times 8=\bbox[red,2pt]{16}$$ I. 在ΔABC 中,\(\overline{AB} =10 , \overline{AC} = 9 , \cos{\angle BAC}=\frac{3}{8}\)。設點 P、Q 分別在邊 AB、AC上使得ΔAPQ之面積為ΔABC面積之一半,則\(\overline{PQ}\)之最小可能值為 ?。(化成最簡分數) 解: $$\frac{\triangle APQ}{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\overline{AP}\times\overline{AQ}} {\overline{AB}\times \overline{AC}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\overline{AP}\times\overline{AQ}} {10\times 9}=\frac{1}{2} \Rightarrow \overline{AP}\times\overline{AQ}=45\\在\triangle APQ 中\Rightarrow \cos{\angle A}=\frac{\overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2 -\overline{PQ}^2}{2\overline{AP}\times\overline{AQ}} \Rightarrow \frac{3}{8}=\frac{\overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2 -\overline{PQ}^2}{2\times 45}\\\Rightarrow \overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2 -\overline{PQ}^2=\frac{135}{4} \Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{\overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2 -\frac{135}{4}}\\ 由於\frac{\overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2}{2} \ge \sqrt{\overline{AP}^2 \times\overline{AQ}^2}=\overline{AP}\times\overline{AQ}=45 \Rightarrow \overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2\ge 90\\ \Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{\overline{AP}^2 +\overline{AQ}^2 -\frac{135}{4}}\ge \sqrt{90-\frac{135}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}}=\bbox[red,2pt]{\frac{15}{2}}$$ -- END -- |